101117

腕の比率を統計的に調べた。　
男女411人(20-30才の成人のみの集団)をヒストグラムで表示すると、400人オーダーであっても粗さはあるね。3000人位いれば、細かなギザギザが消えて、綺麗なピークになるでしょう。分散も小さくなるだろう。
　色々な要因はあるだろうが、統計誤差を反映してピーク形状には、明確な平均値μと標準偏差σが存在し、左右対称の正規分布を適用できそうだ。手の長さなどの絶対値を使用すれば当然、男女差が見られ、フタコブの分布となる。しかし、手の長さの絶対値で規格化すれば、その比率は男女間で有意差は見られないと判断した。だから、男女を合計している。というか、男女合計して人数稼がないと、もっとピークが劣化してしまう。

　問題は、上腕/手の実験値の標準偏差σが大きいことだ。
この要因は、上腕骨頭の位置などを決める人間が、目算で決めているからだと思われる。つまり、手や前腕と比べると、上腕の上端側の、腕と肩の境界が明確に位置づけることが困難だということだ。

　要点は、手/手：前腕/手：上腕/手=1:相加平均：φといえる(的中したな。相乗平均はここでは当てはまんなかったが。)。
今回のデータを利用した場合に限りという前提はありますが。上腕/手の実験値と黄金比φの値に開きがあると思われるかもしれないが、これは母集団が数千人級になれば、平均値μが黄金比φに限りなく接近するという予測に依拠した判断。実際、この誤差がどの程度が例を挙げて示す。

僕の手は20cmであり、
手/手：前腕/手：上腕/手=1:相加平均：φに基づけば、
前腕=26.18cm
上腕=32.36cmと推定される。

上腕/手の実験値1.6419として再度計算すると
上腕=32.83cm
となる。

　上腕/手の実験値を黄金比に変更したところで、その差は、
わずが4.7mmである。目算で測定点を決めて、さらに肉という押したら凹む流体を測定しているんだから誤差でますよ。そういった誤差と個人差が全部、標準偏差σとして反映されている。

肩～手までの長さは3/2φ^2となり、両腕を合計すると3φ^2となる。
これからは、さらに全身に黄金比を適用していく。

　黄金比を使用する意義なんてそもそもないだろう。強いて言えば、昔から美しいものには黄金比が隠れていると語られている程度である(実はあったのだろうが、しだいに忘れ去られたか)。信憑性は微妙なものだ。ただ、黄金比を無理やり関連させることはできそうだと言ったスタンスと期待で行ってはいる。

　黄金比を整数比に近似したとしても、その数値を絵を描く上で利用するのは難しいだろう。着眼点は、統計データに基づいて、人体の比率を定量化し、感覚的・視覚的に描く上での指標が妥当かどうかを検査し、普遍性あり、かつ感覚的に利用しやすい指標を見出すことである。黄金比が持つ性質ゆえに成立している描き方、指標があるのだ(もしくは、あなたの指標や描き方が成立するためには、黄金比は必然的に要求され得るのだ)。これは、まだ予見の段階。

　数値入力で3D人体モデルを作成するとかしない限り、数値データが直接的に活かされることはないのではないかと思う。

何にせよ、今回の腕の比率は、一般的に価値ある結論となる。

090923_全身 7:6:4:5

人体の整数分割。
一応、これまでの均衡比の総合的な図。
・頭身：28/4=7
・恥骨[または、手首]が半分
・(ヘソ～足底)/(頭頂～ヘソ)＝1.33･･
・(全身)/(ヘソ～足底)=1.75
黄金比から結構ずれた。

若干、脚を短く描いてしまった。もうちょい長いほうがバランスがいいように思えるが、多分、比率通りにものさしで描けば良いを信じている。

脚の立体感を意識するために、ブロック化したほうがいいかもね。

下肢の比率は上肢と同様に書けると思っている。
即ち、
上肢⇒上腕骨：尺骨：手＝5:4:3
下肢⇒大腿骨：脛骨：足＝5:4:3
ただし、立っている人の場合には、
踵(かかと)の長さが脛骨に加えられると考えると
5:5:3になるとする。
だから膝はちょうど中点としている。

090830_顔1

顔の比率です。

アニメ絵と現実の人の顔はどこの比率が違うのか。

水平方向の目の幅(目の横幅)に関しては、アニメ絵でも現実も同じ。
問題は、垂直方向の目の幅(目の縦幅)です。

(頭の縦の長さ)/(目の縦幅)
を示すと、
アニメ絵では、7程度であることが普通にある。
実際の人では、12－14程度である。

ちなみに、猫は7程度です。

アニメ絵は目がでかいといわれるが、
垂直方向に目がでかいというのが本当。
その目のでかさは猫並の比率。

アニメ絵も広いから一概には言えないけど。

090830_手の甲

よく知られている手の甲の比率。
指先に向かって、次々に等分割していけばよい。
それでも、慣れっていうのが必要だと思った。

言うのは易いが、するのは難しい。

090624_相乗平均黄金人体均衡図(1/2(7Φ+5):Φ:1:√Φ)

腕と胴体の比率は相乗平均を用いて指定した。
よく知られている人体の黄金比として
(全身)：(へそ～足)=Φ：1
で全身を決めました。

★相乗平均黄金人体均衡図(仰々しいなぁ(汗))
まとめると(Φ=1.618として計算)
全身=5Φ＋2
頭長=2×1/Φ
頭身=1/2(7Φ＋5)=約8.163
腕を広げた時の幅=2(Φ＋√Φ＋2)

(両腕を広げた時の幅)/(全身)×100=約96.93(%)

★ミロのヴィーナスが8頭身
あの像って、直立しているわけでわないから測定しづらい。
でも、8頭身が理想的で美しいという神話のためか・・・8頭身と様々な本に記載してある。でも大体が、引用か噂に頼っているのであって実際に検証しましたという本は見たことない。逆に言えば、それだけ言い切っても問題ないくらいに認められている数値なんでしょう。

黄金比Φから8頭身という整数値を出すには8Φ/Φという比になるように設定する必要があるが、古代ギリシアの職人は像を作るとき、人体を黄金比Φで置換した定規を用いていたのだろうか。もし、あるとしたらその古文書や技術が現代までに伝統されていないのは残念。現代の人で、8頭身がなぜ美しいとされるか説明できる人間はいるのでしょうか？みんな誰かが言っていたからとかいいそう。
日本人は7頭身だし、実際に8頭身であることが理想とか美の絶対条件ではないのは明らか(こう断言できる理由もないのだが・・・)。昔の人が個人レベルの感覚に頼って8頭身が理想という結論を導いたとは思わないし、それが現代まで通用するとは考えられない。当時は根拠があったんだろう。

すっごい遠まわしですが、つまるところ、伝えられるべきものが伝えられていないことにイラってしました。

★恥骨が体の中央として、計算した結果は
全身=2(Φ＋√Φ＋1＋1/Φ)
頭長=2×1/Φ
頭身=Φ(Φ＋√Φ＋1＋1/Φ)=約7.294

同様に、
(両腕を広げた時の幅)/(全身)×100=約108.47(%)

★黄金比と調和平均の関係
1とΦの調和平均である2×1/Φは頭長や胸郭下部の円比になっている。
調和平均はx^2=x＋1の解であるΦと似た処理をしているようだ。

相加平均黄金人体比と相乗平均黄金人体比という二つの場合、のいずれにも黄金比で表そうすることが、そもそも調和平均を使っていることになるらしい。

(追記)090625
身長を決める方法で、
(1)頭～へそ：へそ～足＝Φ^-1:1　(身長がΦ)
(2)恥骨を体の半分とする
の2通りの方法がある。

今回用いた相乗平均による図では、両者とも異なる全長を示し、異なる頭身となった。この異なる値を何とか一致させるように考えたところ、

相加平均による図において、恥骨でなく坐骨の下端(要するに骨盤の円の最下端)を全長の中心とすれば、5Φ＋2となり、二つの方法のいずれでも同様の値が得られた。

ここで、こじつける。
★一歳の子供：4頭身程度であり、へそが体の中央
★成人：7.354等身であり、恥骨が体の中央
★黄金人体：8.163頭身であり、骨盤最下端が体の中央
つまり、へそ～骨盤最下端の体の中央の変遷の内、恥骨は成長の途中過程に過ぎない。黄金比が見出せる比率になるには、体の成長と連動して体の中央がへそ→骨盤最下端まで下降すると考える。
平たく言えば脚が長くなる。


★相乗平均Φ近似と相加平均Φ近似と整数近似の関係
相乗平均と相加平均の特性を両立させる中間的な立場が整数近似(7.5：6:4:5均衡)の意味するところなのかもしれない。

・相乗平均の特性
腕の5:4:3は三平方の定理が成立。

・相加平均の特性
胴体の6:4:5は二通りの全長算出手法のいずれでも値が一致した。

実用的には整数近似が有用である。
ちなみに、整数近似では、相加平均や相乗平均のように正確なΦは得られず、Φの近似でしか表せない結果となる。例えば、
・身長：へそ～かかと＝5：3(フィボナッチ数列の第4近似)
であり、Φにはならない。
Φであれば、約8.16頭身であるが、整数近似の場合には7.5頭身となる。

090621_7:6:4:5均衡図

体の平均のバランスとして、また一つほど、近似を紹介します。

その前に、上肢(肩～手先)の比率を知っていただきとうございます。
資料(統計データ)と実測から、
上腕(肩～ひじ)：前腕(ひじ～手首)：手
=5：4：3
という近似は個人的には全世界共通であってほしいところです。

以前、紹介した胴体の3円をそれぞれ上から
6：4：5と指定します。すると絵のようになります。

★くびれの高さ=上腕の下端
★恥骨の高さ(体の中央の高さ)=前腕の下端
★腕の比率は5:4:3
とする約束をすべて満たすには胴体の3円を6:4:5にすることが求められました。したがって、胴体の3円から、無理なく、腕のバランスも関連させることができました。
なお、注意として、胴体の比率の5の円は円内に骨盤全部が収まるように設定しています。以前とは異なります。
詳細にいえば、円5を5分割して、恥骨は上から4番目の高さに相当し、それより下は坐骨の領域としました。

ちなみに、腕は5:4:3(=1.666:1.333:1)なので三角形を作ると直角三角形です。
今回は、整数比で人体を近似しましたが、黄金比Φで分割すると
腕は
上腕：前腕：手=Φ^2：1/2(Φ^2＋Φ)：Φ
と近似しました。
もちろん直角三角形にはなりませんが。

ちなみに、頭長は4で、恥骨を体の中央とするのであれば全体は28となるので7頭身となります。
以前に
6:4:5→7.5頭身としましたが、これは恥骨の位置が異なるためです。

※(両腕を広げた時の長さ)：(身長)は？
医学書には成人男性であれば平均が
約106:100らしい
今回のバランスから導かれる比率は
約107：100になるから、誤差の範囲内かな。
30/28=約1.07

※4頭身に対しては？
1歳は4頭身らしいのですが、上記と同様の方法で4頭身を導くには二つ条件が必要です。
★体の中央をへその位置として全長を決める
★首の長さを0としてやる(厳密には、正面から見える首の長さ)
この二つの条件は1歳であれば、十分満たすと許容してくれるなら正確に4頭身となります。

人は2から7,8頭身くらいまでを約20年くらい掛けて変遷していきます。
この変遷の中のどの時期の頭身も表現できるマニュアルが必要となる。
上の二つの条件を二つの変数とする関数となるのでしょうか。


(追記)090622
腕の黄金分割は
　上腕：前腕：手=Φ^2：1/2(Φ^2＋Φ)：Φ ( = Φ：1/2(Φ＋1)：1 = Φ：(Φ^2)/2：1 = 1.618:1.309:1)
ではなく、
上腕：前腕：手=Φ^2：(Φ^2＋Φ)^(1/2)：Φならば三平方の定理が成立するからこっちにしよう。簡略化すると、
上腕：前腕：手 = Φ：√Φ：1
　　　　　　　 = 1.618 : 1.272 : 1
となる。

上腕：前腕：手=Φ：(Φ^2)/2：1 の前腕は上腕と手の相加平均。一方で、
上腕：前腕：手 = Φ：√Φ：1の前腕は上腕と手の相乗平均ということです。思いのほかすっきりした。
相乗平均は指数の相加平均だから、ここからネイピアこねーかなぁ。


調和平均では、
上腕：前腕：手 = Φ：2(Φ^-1)：1
　　　　　　　 = 1.618 : 1.236 : 1

090514_7.3:5:3:4均衡図

前より適当な感じですが・・・。
何か発見があれば清書しようかな。

今回は7.3：5：3：4均衡図。
3円がそれぞれ5：3：4です。ピタゴラスの比率です。
この3円から展開される頭長は10/3。
全長は19/3+18=73/3。
よって73/3 / 10/3 = 7.3頭身。
これでも頭が大きくは見えない。理想と言われる8頭身はもっと顔小さい。ちなみに日本人は平均しておよそ7頭身だそうです。

『ミロのヴィーナス』は8頭身でφ(黄金比)を見出せるとよく言われている。だから、3円の比にもφ^2、φ、1/φ、5^1/2とか入ってくるのだろうか・・・と思ってしまう。

これまでを纏めると
3:1:2→6.5頭身
4:2:3→7頭身
5:3:4→7.3頭身
6:4:5→7.5頭身
って感じっぽい。
逆に頭身を指定してやれば3円の比率は求められる。
3円を基盤としている限り、それが限界でもあると思う。そもそも、3円からスタートすることの正当性は保障されていないから信じるのも微妙です。だからこそ、この方法から得られる奇跡的な結果を探し、この方法を選択することの根拠とするのが目的。だから数字遊びになる。

追記(090516)
日本人の人体の各部位間の平均値が販売されているんですね。
こういった文献から算出したのであれば良いかも。

今後は取り合えず7：4：2：3で横面図も描きたいと思う。
これを上手く行くように設定して、3円ではなく3球とする。

ちなみにtan60°：cos60°：sin60°などということも試したが、実際の測定値から攻めてた方が良いかな。

あと黄金比φでは7頭身にならなかった。
φ^2-φ-1=0を満たすのが黄金比で、結局、φ^-2＋φ^-1=1を利用して、頭身を整数に導くのですが、φ^-2とφ^-1の係数が同じにならなければ無理数であるφが消えないんです。その結果、6.1頭身位になった。

逆算して、係数を同じになるように、そして7頭身になるように仕組めば
x^2-x-1/2=0となる方程式の解であればよい。
x=(1+√3)/2=1.366・・・・
(ちなみにφ=(1+√5)/2=1.618・・・・)
だから7：x^2：1：x均衡図はx=(1+√3)/2の時に満たす。
このxは自然界とか幾何学とかで何か意味のある数であればいいんですが。

090503_7:4:2:3均衡図

なかなか、気持ちが悪い絵柄になっちった。

　人体の構築する初期の段階で、4つの円を意識して描き始める方法を提案します。4つの円とはまず、頭部を囲む円と図に示した色つきの円3つです。
　今回は3個の色付きの円の長さの比率を上から4:2:3としました。
注意すべき点は、色つきの円の中心や円周が人体のどこと対応しているかです。
例えば、円2(赤)を挙げよう。
円の中心の高さは『くびれ』、最下部は『へそ』、円周の上半分は肋骨にスッポリはまる位置としました。正しいかどうかは各自判断してください。

何も考えずに円を描きましょう。その円を図中の円4(紫)とします。
円4(紫)を描けば、以下のように情報が展開できる。

円4(紫)→
(1)目の高さ(位置)
(2)肩幅
(3)円2(赤)の大きさ・位置
(4)乳頭の位置
など
(1)～(4)もそれぞれ同様に、情報を含んでおり、連想ゲーム的に情報を紐解いていく。
全部は記述しないが、結果的に最初に描いた円で他の情報が一義的に決定される。
即ち、一つの円の中に、図のディテールで描くことができる程度の位置・大きさの情報が全て含まれているものとして扱うことができるようになる(人体を円に圧縮した)。実際に描けるかどうかは位置や比率だけでなく解剖学的知見が必須ですが。

円にどれだけの情報を見出せるか。また、いかにうまく構築する過程を組み立てられるかが重要ね。

この人体プロポーションが気に入らない人もいるでしょう。それでも何か描く上で指標(＝定規、定石、機械的処理)は必要です。もっと足が長く細い方がいいなら、この絵を描く方法を軸に考え、やや足を長くするようにすれば良い。もしくは、3円の比率を変えて生じる人体プロポーションを自分好みになるように比率を調節する。
　4:2:3は個人的には、扱い易さと見た目の妥協点(最大公約数)的な感じで現在のところ最良比候補として考えています。ちなみに、私が『良い・正しい』という基準はその法則が多くの人に当てはまるかどうかです。個人的な美的感覚ではありません。不格好な現実をありのままに表現することがいいんです。
　他にも3:1:2の可能性もあるが、まだ試していない。できるだけ簡単な比率がいいでしょう。

追記[090504]
法則には信じるに値する奇跡とか美しさは必要だと思います。個人的には実用性があれば汚くても平気なんですが。
ただ、気になることがあったので報告。

　！結☆論！
円(紫)：円(赤)：円(緑)：円(頭部)
=4：2：3：8/3

(頭部の円比)=(8/3)^1=2.666666・・・
(頭身)=(8/3)^2=7.111111・・・
(全身の円比)=(8/3)^3=18.962962・・・

(頭部の円比)はネイピア数e= 2.71828・・・だったんだよ！(飛躍かな？コンキョレス？)

(頭部の円比)=(e)^1=2.71828・・・
(頭身)=(e)^2=7.38905・・・
(全身の円比)=(e)^3=20.08553・・・
と一応なる。

追記[090506]
eと8/3は区別したいと思ったんだが・・・。
今回は4:2:3:8/3
次は4:2:3:eを作りたい。eを目分量で導出可能な方法はどうしよう。
e=1＋1＋1/2＋1/6＋1/24・・・＋1/n!＋・・・・
と展開。比率的には以上のように足していけばいいから理論上は描けそう。でも、1cmの円の1/24とか気にするに値しないとして、以下を無視すると、
(4項目までの和)=8/3=2.66666・・・である。
即ち、8/3というのはeの4項までのマクローリン展開であったと後付する。
ちなみに、円4(紫)から、頭部の円比を導く処理は
円4(紫)の半径を3分割(=2/3)し、これが4個分とするから8/3が得られる。簡単な目分量だから、eの近似の精度以上に、取り扱いやすい点が良い。

ここで、まとめると
この絵は4:2:3:e均衡図とする。eは近似として8/3とした場合と位置づける。
e-8/3=0.051となり十分近似(1.88％の誤差)しているとみなそうと思う。
というか正直、これ以上の近似精度向上は取り扱い、描写速度の点で得をしない気がする。

追記(090512)
頭部が8/3
全体が16＋8/3(半径は8＋4/3)
全体/頭部=7(頭身)でした。
7:4:2:3均衡図に改名です。
それでも、エクスポネンシャルが関係することを期待してる。
何とかしてeで表したいが、今回は必要なさそうです。残念orz-sτo

・肩から肘までの長さ：3
・肘から手首までの長さ：3(ここは微妙)
・手の長さ：2(=8/3×3/4)
⇒肩から手の長さは合計8

下半身(恥骨～かかと)の長さは8+4/3
・上腿の長さ：4+2/3
・下腿の長さ：4+2/3
膝関節(膝基底線)が半分の位置というのは周知らしい。
それぞれの2/3になる部位は上腿は大腿骨の下端、下腿は足としよう。

090428

まだ未完成の均衡図。
長い目で確立していくぜ。

人体に簡易的な比率・図形を見出す作業。
　この均衡図を完成させ、描く上で何が有利になるのかをよく知る必要があると思います。3点ほど価値があると思う。
　1点目は再現性。人を選ばず、その法則を知り、ある程度の人体の知見があれば良い絵が描けるように導くことができる方法論として通用する可能性があること。
　2点目は時間の節約。求める絵に機械的に(考えるのをやめて、とにかく)法則を適用し、規定の完成度まで導けること。
　3点目にパースとの親和性の高さ。人体は複雑だが、簡単な図形に置換することで、遠近感、空間の整合性といったことに適応しやすくなること。